\(\triangleright\) Définition du tenseur de Riemann
Le tenseur de Riemann \(R^\mu_{\alpha\beta m}\) permet de caractériser la courbure d'un espace-temps.
Il est définit comme:
$$R^\mu_{\alpha\beta m}=\partial_\beta\Gamma^\mu_{m\alpha}-\partial_m\Gamma^\mu_{\beta\alpha}+\Gamma^\mu_{\beta i}\Gamma^i_{m\alpha}-\Gamma^\mu_{mj}\Gamma^j_{\beta\alpha} $$
Avec:
\(\Gamma^\mu_{m\alpha}\) : les Symbole de Christoffel - connexions
\(\triangleright\) Tenseur de Ricci
Le tenseur de Ricci \(R_{ij}\) est la trace du tenseur de Riemann et permet également de caractériser la courbure.
$$R_{ij}=R_{i\mu j}^\mu$$
\(\triangleright\) Courbure scalaire - scalaire de Ricci
Le scalaire de courbure est définit comme:
$$R=g^{ij}R_{ij}$$
Avec:
